Exploration sans limite : l'infini mathématique

Préface  Vers l'infini, et au-delà !
Par Julien Melleray, maître de conférences à l'Université Claude Bernard Lyon 1 Imaginez: vous êtes l'heureux propriétaire d'un hôtel, un peu particulier puisqu'il a une infinité de chambres, numérotées par les nombres entiers.Toutes vos chambres sont occupées, mais un membre de votre famille a besoin d'un endroit où dormir.
Que faire? Une solution consiste à demander à l'occupant de chaque chambre de déménager dans la suivante —l'occupant de la chambre 1 va dans la chambre 2, celui de la chambre 2 dans la chambre 3, etc. Ceci fait, la chambre 1 est maintenant libre, et vous pouvez loger une nouvelle personne.
Encore mieux : votre frère possède un hôtel similaire, complet également, mais qui doit fermer pour travaux. Comment faire pour reloger ses occupants?
C'est simple : demandez à tous vos hôtes de déménager dans les chambres avec un numéro pair (l'occupant de la chambre 1 va dans la chambre 2, celui de la chambre 2 dans la chambre 4, et ainsi de suite). Maintenant, toutes vos chambres avec un numéro impair sont libres, ce qui vous laisse assez de place pour reloger les occupants de l'immeuble de votre frère. L'hôtel imaginaire décrit ci-dessus (appelé « hôtel de Hilbert » en l'honneur du mathématicien allemand David Hilbert) illustre le fait que les ensembles infinis ont des propriétés qui peuvent paraître contradictoires, ou en tout cas très différentes de ce à quoi nous sommes habitués.
Pourtant, nous pouvons tout à fait imaginer des ensembles infinis. De plus,il est  très difficile en pratique de manipuler des ensembles finis avec un très grand nombre d'éléments—par exemple, si l'on essaie de comprendre l'évolution d'un gaz au fil du temps,il est impossible de décrire ce qui arrive à chaque particule composant ce gaz ; mais on peut essayer de décrire l'évolution de paramètres observables (la pression, la température...) et pour cela il est plus aisé de prétendre que le gaz est fait d'une infinité de particules...